המשפטים שאותם ניתן לרשום על ידי ציון שמם הם:

Transcript

1 צ, ציטוטמחוזרמפמ''ר : (שיניתירקאתצורתהכתיב) בשאלות (שאלון 5) יש לנמק כל שלב בפתרון על ידי כתיבת המשפט הגיאומטרי המתאים. משפטים ידועים ניתנים לציטוט על ידי ציון שמם. את כל יתר המשפטים יש לנסח במדויק. המשפטים שאותם ניתן לרשום על ידי ציון שמם הם: משפט פיתגורס,. משפט תאלס,. משפט חוצה הזווית, 3. ארבעה משפטי החפיפה: צ.ז.צ., ז.צ.ז. 4. הגדולה (ורק משפטים אלה), משפטי הדמיון, 5. זווית בין משיק ומיתר, משפט תאלס המורחב, והמשפט ההפוך למשפט תאלס..צ.צ., צלע צלע והזווית מול הצלע ועוד מהחוזר: גיאומטריה אוקלידית חפיפת משולשים (4 משפטים). משפטים והוכחות: תכונות של משולשים, מרובעים, האנך האמצעי וחוצה זווית כמקומות גיאומטריים, תכונות המעגל. משפט פיתגורס. דמיון: פרופורציה בין קטעים. המשפט: שלושה ישרים מקבילים החותכים זווית יוצרים קטעים פרופורציוניים (ללא הוכחה מלאה) חלוקת קטע ביחס נתון, חלוקה פנימית וחלוקה חיצונית. משפט חוצה הזווית. (זווית פנימית וזווית חיצונית). דמיון מצולעים (הגדרה). שלושת משפטי הדמיון של משולשים (לא תידרשנה הוכחות המשפטים). היחס במשולשים דומים בין היקפים, תיכונים, חוצי זווית, גבהים ורדיוסי מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים. היחס בין שטחי משולשים דומים. היחס בין היקפים והיחס בין שטחים במצולעים דומים (לא תידרש הוכחה) קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית. משפטים: הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים לו. הגובה ליתר הוא ממוצע גיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. הניצב הוא ממוצע גיאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר. קטעים פרופורציוניים במעגל. מיתרים נחתכים במעגל. חותך ומשיק מנקודה חיצונית, שני חותכים היוצאים מנקודה חיצונית למעגל. הערה: שאלות אוקלידית יש להוכיח בשיטות של גיאומטריה אוקלידית בלבד.

2 מס' המשפטים המותרים שאותם לא ניסוח המשפט ניתן לרשום על ידי ציון שמם הם: שרטוט כתיב מתמטי + 8 הסכוםשלשתיזוויותצמודותהוא 8 כל שתי זוויות קדקודיות בעלי קדקוד משותף שוות זו לזו נתוניםשניישריםהנחתכיםעלידיישר שלישי. אםקייםזוגאחדשלזוויות מתאימות שוותזולזואזהישרים מקבילים 3 נתוניםשניישריםהנחתכיםעלידיישר שלישי. אםשניהישריםמקביליםאזכל שתיזוויותמתאימותשוותזולזו. נתוניםשניישריםהנחתכיםעלידיישר שלישי. אםקייםזוגאחדשלזוויות מתחלפותשוותזולזואזהישרים מקבילים נתוניםשניישריםהנחתכיםעלידיישר שלישי. אםשניהישריםמקביליםאזכל שתיזוויותמתחלפותשוותזולזו. נתוניםשניישריםהנחתכיםעלידיישר שלישי. אםקייםזוגאחדשלזוויותחד צדדיותפנימיותשסכומןשווהל- 8 אז הישריםמקבילים נתוניםשניישריםהנחתכיםעלידיישר שלישי. אםסכוםזוויותחדצדדיות פנימיותשווהל

3 סכום זוויות במשולש שווה ל- 8 + δ δ זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות זו לזו. אם במשולש שתי זוויות שוות זו לזו אז המשולש הוא שווה-שוקיים. +++δ 36 סכום הזוויות הפנימיות במרובע שווה ל δ סכוםהזוויותהפנימיותבמצולעקמורבעל.8 (n-) צלעותהוא n 4 מספרהאלכסוניםבמצולעבעל n צלעות n(n 3) הוא: 5,,,, משפטחפיפהראשון (צלע, זווית, צלע): אםשתיצלעותוזוויתהכלואהביניהן במשולשאחדשוותבהתאמהלשתיצלעות וזוויתהכלואהביניהןבמשולששניאז המשולשיםחופפים. משפטחפיפהשני (זווית, צלע, זווית): אםצלעושתיהזוויתשלידהבמשולשאחד שוותבהתאמהלצלעושתיהזוויתשלידה במשולששניאזהמשולשיםחופפים. 6 7

4 ,, משפטחפיפהשלישי (צלע, צלע, צלע): אםשלושהצלעותבמשולשאחדשוות בהתאמהלשלושהצלעותבמשולששניאז המשולשיםחופפים. 8,,, < משפטחפיפהרביעי (צלע, צלע, זווית): אםשתיצלעותוהזויתשמולהצלע הגדולהמביןהשתייםבמשולשאחדשוות בהתאמהלשתיצלעותוהזויתשמולהצלע הגדולהמביןהשתייםבמשולששניאז המשולשיםחופפים. זוויותהבסיסבמשולששווה-שוקייםשוות זולזו. במשולש שווה-שוקיים חוצה זווית הראש התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים. אם שתי זוויות המשולש שוות זו לזו אז המשולש הוא שווה שוקיים. 9,,,, אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה לצלע שמול הזווית אז המשולש הוא שווה שוקיים. אם במשולש תיכון לצלע מתלכד עם גובה לאותה הצלע אז המשולש הוא שווה שוקיים. אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם התיכון לצלע שמול הזווית אז המשולש הוא שווה שוקיים. האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש

5 , האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשנה. 7, האלכסון הראשי בדלתון מאונך לאלכסון המשנה. 8 <δ, < δ δ זווית חיצונית למשולש גדולה מכל אחת משתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. 9 > > אםבמשולשצלעאחתגדולהמצלע השנייה, אזהזוויתשמולהצלעהגדולה 3 יותרגדולהמהזוויתשמולהצלעהקטנה. > > אםבמשולשזוויתאחתגדולהמזווית שנייה, אזהצלעשמולהזוויתהגדולה 3 יותרגדולהמהצלעשמולהזוויתהקטנה. < + < + < + סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית. 3, שלושת חוצי הזוויות הפנימיות במשולש נפגשים בנקודה אחת. 33, שלושת תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת. 34, H שלושת גבוהים במשולש נפגשים בנקודה אחת. 35

6 ,,,, 9, 3 3 שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. במשולשישרזוויתשזוויותיוהן 3 ו- 6 הניצבשמולהזוויתשל 3 שווהלמחציתהיתר , 3 אם במשולש ישר זווית אחד מהניצבים שווה למחצית היתר אז הזווית שמול הניצב שווה ל , התיכון ליתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר אם במשולש התיכון לאחת מהצלעות שווה למחצית הצלע שאותה הוא חוצה אז המשולש הוא ישר זווית. 4 9, 9, במשולש ישר זווית הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים שזוויותיהם שוות בהתאמה לזוויות המשולש המקורי. 4 מקבילית, כל שתי זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו. 4 מקבילית, כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו. 43

7 מקבילית סכום כל שתי זוויות סמוכות במקבילית שווה ל מקבילית, האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. 45, מקבילית אם שתי צלעות נגדיות במרובע שוות זו לזו ומקבילות זו לזו אז המרובע הוא 46 מקבילית., מקבילית אם במרובע כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו אז המרובע הוא מקבילית. 47, מקבילית אם במרובע כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו אז המרובע הוא מקבילית. 48, מקבילית אם במרובע אלכסונים חוצים זה את זה אז המרובע הוא מקבילית אם במרובע סכום כל שתי זוויות סמוכות שווה ל- 8 אז המרובע הוא מקבילית. מקבילית 5 9 כלאחתמזוויותהמלבןהיאבת 9. מלבן 5 מלבן, כל שתי צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו. 5 מלבן, האלכסונים במלבן חוצים זה את זה ושווים זה לזה. 53

8 ,מקבילית 9 אם במקבילית יש זווית ישרה אז המקבילית היא מלבן. מלבן 54,מקבילית מלבן אם במקבילית אלכסונים שווים זה לזה אז המקבילית היא מלבן. 55 כל צלעות המעוין שוות זו לזו. מעוין 56 מעוין, כל שתי זוויות הנגדיות במעוין שוות זו לזו. 57 מעוין סכום כל שתי זוויות סמוכות במעוין שווה ל מעוין, האלכסונים במעוין חוצים זה את זה. 59 האלכסונים במעוין חוצים את זוויות המעוין. -מעוין,,, האלכסונים במעוין מאונכים זה לזה. -מעוין 6 6 מעוין אם במרובע כל צלעותיו שוות זו לזו אז המרובע הוא מעוין. 6

9 מ-, -מקבילית מעוין אם במקבילית יש שתי צלעות סמוכות שוות זו לזו אז המקבילית היא מעוין. 63, -מקבילית מעוין אם במקבילית האלכסונים מאונכים זה לזה אז המקבילית היא מעוין מקבילית,,, אם במקבילית האלכסונים חוצים את זוויות המקבילית אז המקבילית היא מעוין. כלאחתמזוויותהריבועהיאבת 9. עוין ריבוע ריבוע כל צלעות הריבוע שוות זו לזו. 67 ריבוע האלכסונים בריבוע חוצים זה את זה. 68 ריבוע האלכסונים בריבוע שווים זה לזה. 69 ריבוע האלכסונים בריבוע מאונכים זה לזה. 7 ריבוע,,, האלכסונים בריבוע חוצים את זוויות הריבוע. 7, 9 ריבוע אם במרובע כל הצלעות שוות ויש זווית ישרה אז הוא ריבוע. 7

10 ,,, ריבוע אםבמרובעהאלכסוניםשוויםזהלזה, חוציםזהאתזהומאונכיםזהלזהאז 73 המרובעהואריבוע.,,, ריבוע אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה, שווים זה לזה ואחד מהאלכסונים חוצה 74 זווית המרובע אז הוא ריבוע. -, מקבילית, -ריבוע אם במקבילית האלכסונים שווים ומאונכים זה לזה אז היא ריבוע. 75 -, מעוין -ריבוע אם במעוין האלכסונים שווים זה לזה אז הוא ריבוע. 76 -, מעוין 9 -ריבוע אםבמעויןישזוויתישרהאזהואריבוע. 77 -, מלבן -ריבוע אם במלבן האלכסונים מאונכים זה לזה אז הוא ריבוע. 78 -, מלבן -ריבוע אם במלבן יש שתי צלעות סמוכות שוות זו לזו אז הוא ריבוע. 79 -, מלבן אם במלבן אחד מהאלכסונים חוצה זווית המלבן אז הוא ריבוע. -ריבוע 8 טרפז,, כל שתי זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו. 8 טרפז סכום שתי זוויות ליד כל שוק בטרפז שווה ל- 8. 8

11 טרפז, האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה. 83 טרפז, סכום כל שתי זוויות נגדיות בטרפז שווה שוקיים שווה ל טרפז, אם בטרפז זוויות שליד אחד הבסיסים שוות זו לזו אז הוא טרפז שווה שוקיים. 85 טרפז, אם בטרפז האלכסונים שווים זה לזה אז הוא שווה שוקיים. 86,.5, קטע אמצעים במשולש המחבר אמצעי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ושווה 87 למחציתה., קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השנייה הוא קטע אמצעים במשולש. 88.5,, קטע המחבר שתי צלעות המשולש שמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה 89 הוא קטע אמצעים במשולש., טרפז,,.5(+), טרפז, קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסיה ושווה למחצית סכומם. קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים הוא קטע אמצעים בטרפז. 9 9,,,, נקודתמפגשהתיכוניםבמשולש מחלקת כלתיכוןביחס : החלמקדקוד 9 המשולש.

12 נקודת מפגש האנכים האמצעיים לצלעות המשולש הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש. - נקודת מפגש של אנכים אמצעיים,, -מרכז המעגל החוסם 93 נקודת מפגש חוצי הזוויות במשולש הוא מרכז המעגל החסום במשולש. - נקודת מפגש של חוצי זוויות,, -מרכז המעגל החסום 94 על מיתרים שווים במעגל נשענות זוויות מרכזיות שוות זו לזו. 95 במעגלזוויותמרכזיותשוות נשענותעל מיתריםשווים. 96 אנך ממרכז המעגל למיתר במעגל חוצה את המיתר. 97 אנך ממרכז המעגל למיתר במעגל חוצה את הזווית המרכזית הנשענת על המיתר. 98 אנך ממרכז המעגל למיתר במעגל חוצה את הקשת המתאימה למיתר. 99,, מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.,, מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים זה לזה.

13 זוויתמרכזיתבמעגלגדולהפי מכל זוויתהיקפיתהנשענתעלאותההקשת. כל הזוויות ההיקפיות במעגל הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו. 3 זוויות היקפיות שוות במעגל נשענות על מיתרים שווים. 4 כל הזוויות ההיקפיות במעגל הנשענות על אותו מיתר מאותו הצד שוות זו לזו. 5 9 זוויתהיקפיתבת 9 נשענתעלהקוטר. -קוטר המעגל 6 זווית היקפית הנשענת על הקוטר היא זווית ישרה. -קוטר המעגל זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. 8 זווית חיצונית למעגל שווה להפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית. 9 משיק למעגל מאונך לרדיוס הנפגש איתו בנקודת ההשקה. למעגל -משיק בנקודה

14 ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל. למעגל -משיק בנקודה ו- -משיקים למעגל בנקודות ו- שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. הקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה שממנה יוצאים שני המשיקים חוצים את הזווית שבין המשיקים. ו- -משיקים למעגל בנקודות ו- 3 משיקלמעגל בנקודה, מיתרבמעגל 5 הזווית בין משיק למיתר במעגל הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת המתאימה למיתר הכלואה בין המיתר לבין המשיק. קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו. 4 ו- נקודות חיתוך של מעגלים ו-, 6 נקודת ההשקה של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים אם המעגלים משיקים מבחוץ או על המשכו אם המעגלים משיקים מבפנים. נקודת ההשקה של מעגלים ו- 7 בכלמרובעהחסוםבמעגלסכוםכלשתי זוויותנגדיותהוא 8. מרובעחסום במעגל אםבמרובעישזוגזוויותנגדיותהוא שסכומן 8 אזניתןלחסוםאותו. במעגל ניתן לחסום את מרובע במעגל 9 במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. מרובעחוסם מעגל ++

15 אם במרובע סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני אז ניתן לחוסם מעגל במרובע. ++ ניתן לחסום במרובע את המעגל כלמצולעמשוכללניתןלחסוםבמעגל. בכלמצולעמשוכללניתןלחסוםמעגל. 3 משפטפיתגורס: בכלמשולשישרזווית סכוםשטחיהריבועיםהבנוייםעל הניצביםשווהלשטחהריבועהבנויעל היתר אם במשולש סכום שטחי הריבועים הבנויים על שתי צלעות המשולש שווה לשטח הריבוע הבנוי על הצלע השלישית אז הוא ישר זווית משפט תלס: שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים. d d 6 הרחבהראשונהשלמשפטתלס: הנקודות ו- נמצאותבהתאמהעל הצלעות ו- במשולש.. אם אז 7 הרחבהשנייהשלמשפטתלס: הקטעים ו- נחתכיםבנקודה.. אם אז

16 8 אם שני ישרים מקצים על שוקי זווית קטעים פרופורציוניים אז הם מקבילים זה לזה. d d חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית. קטע המחבר קדקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות חוצה את הזווית שמול הצלע. חוצהזוויתחיצוניתלמשולש (שאיננה צמודהלזוויתהראששלמשולששווה שוקיים) מחלקאתהצלעשמולהזווית הפנימיתהצמודהלהואתהמשכהכך שהיחסביןהקטעהמכילאתהצלע והמשכהלביןהמשכהשלהצלעשווה ליחסשביןהצלעהגדולההכולאתאת הזוויתהפנימיתלצלעהקטנההכולאתאת הזוויתהפנימית. ישרהעוברדרךקדקודשלמשולשומחלק אתהצלעשמולהקדקודחלוקהחיצונית ביחסהשווהליחסשביןשתיהצלעות האחרות, חוצהאתהזוויתהחיצוניתשליד הקדקוד. 33 משפטדמיוןראשון: אםשתיצלעות במשולשאחדמתייחסות באותויחסלשתי צלעותמתאימות במשולששניוהזוויתשביןהצלעותשווה בהתאמהאזהמשולשיםדומים. k k, 34 משפט דמיון שני: אם שתי זוויות במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי זוויות במשולש שני אז המשולשים דומים., 35 משפט דמיון שלישי: אם שלוש הצלעות במשולש אחד מתייחסות באותו יחס לשלוש הצלעות המתאימות במשולש שני אז המשולשים דומים. k k k

17 חוציזוויותמתאימותבמשולשיםדומים מתייחסותזהלזהכמויחסהדמיוןשבין המשולשים. תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הדמיון שבין המשולשים. גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הדמיון שבין המשולשים. ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הדמיון שבין המשולשים. שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו ריבוע יחס הדמיון שבין המשולשים. שני מיתרים במעגל הנחתכים בתוך המעגל מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני. K k K K k k k k G k G k G k k k k k k k k K K G G, K G KK, GG, K G K, G, K G P P S S נקודת חיתוך המיתרים במעגל ו- 4 אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני ושווה לריבוע המשיק היוצא מאותה הנקודה. ו- חותכים למעגל -, משיק למעגל